Le champ devant être vu comme les composantes (1,0), (2,0), (3,0) d'un tenseur de rang 2, t étant le temps propre : Par analogie, on définit F'⁰⁰ par dp'⁰/dt=qF'⁰⁰.
Or, p'⁰=E/c=m.c pour une particule au repos Þdp'⁰/dt=dmc/dt=0 Þ F'⁰⁰=0.
Dans le référentiel où la charge est au repos : p'_n=(mc,0,0,0) et Cette équation tensorielle est invariante de Lorentz :

p_µdp^µ/dt=q/mcp_µp_nF^µn, or p_µp^µ=E²/c²-p²=m²c² Þ p_µdp^µ/dt=0 : En différentiant cette équation par rapport à p_a et p_b on montre que cette équation n'est possible que si F^µn est antisymétrique : On sait donc comment les sources crééent les potentiels : et comment le champ tenseur exerce une force : Il manque encore la forme explicite du champ tenseur en fonction du potentiel, c'est à dire la généralisation de E=-ÑF.
Le seul point acquis précédemment² suffit à leui seul à trouverune réponse uniqueà cette question. Il faut juste supposer que le champ tenseur est linéair en fonction du potentiel, ce qui peut s'accepter ici comme un fait d'expérence ou comme une réponseau premir ordre.
Pour construire F^µn on a de disponible le quadri-vecteur ¶^µ et le quadri-vecteur A^µ, sans oublier le cas statique E^k=¶^kA⁰.
On pose : qui est donc la seul solution possible, les indices µ et n ne pouvant apparaître dans le même objet, ce qui donnerait une antisymétriqation nulle.
Il serait alors possible à priori de multiplier cette proposition par un scalair du type A^aA_a, ¶_aA^a, A_a¶^a ou ¶_a¶^a. Les trois premiers ne satisfont pas l'hypothèse de linéarité et le dernier est incompatible avec le cas statique. Ceci amène donc à a développer les termes du champ tenseur : On définit alors : et³Le champ tenseur se récrit donc : On voit donc apparaître au coeur du champ tenseur un nouveau champ non introduit encore et dont la nécessité est venue de la démonstration.
C'est le champ magnétique B.
On ne pale donc plus de champ électrique ou de champ magnétique séparemment. Les deux champs se trouvent donc intrinsèquement liés dans le champ tenseur.

---

1

Les ' signifient dans le référentiel propre

2

F^µn est antisymétique

3

ÑÙA=rotA est un rotationnel

 

Télécharger le cours au format PDF
Ouvrir le cours au format HTML compatibles avec tous les navigateurs