vendredi 29 avril 2005

Cours d

1  Relativité restreinte

1.1  Définitions et postulats

On postule qu'il existe des référentiels dans lesqels les mouvements libres des corps s'effectuent à vitesse constnte. Ce sont les référentiels inertiels.
Le principe de relativité énonce que les lois de la physique sont les mêmes danstous les référentiels inertiels.
Ce principe implique alors une vitesse infini de propagation des interactions comme par exemple l'interaction gravitationnele Terre-Soleil (FT-S=gmsmT/R2).
La relativité d'Eintein introduit alors la finitude de la célérité lumineuse à la vitesse de propagation des interactions. Par application du principe de relativité, cette vitesse est la même dans tous les référentiels inertiels.

1.2  Intervalle et changement de référentiel inertiel

On considère deux évènements, dans un réfrentiel K, correspondant à l'émission et la détection d'un signal lumineux.
Le première évènement est repéré par (t1,x1,y1,z1) et le deuxième par (t2,x2,y2,z2) La distance entre ces deux évènements s'exprime par
c(t2-t1)
et par
(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
On peut donc écrire :
c2(t2-t1)2- (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2=0
On considère maintenant les deux mêmes évènements dans un autre référentiel K' :
c2(t'2-t'1)2- (x'2-x'1)2+(y'2-y'1)2+(z'2-z'1)2=0
On introduit ds2=c2dt2-dx2-dy2-dz2, appelé l'intervalle. On vient donc de montrer que si l'intervalle est nul dans un référentiel, il le sera dans tout autre.
Dans le cas général, l'intervalle n'est pas nul, il est donc nécessaire de chercher une loi de transformation de ds2 dans K vers ds'2 dans K'. ds=0 impliquant ds'=0, la proportionnalité est assurée :
Þ ds'2=a.ds2
Considérons 3 référentiels : K, K1 et K2. On appelle V1 la vitesse de K1 par rapport à K, V2 la vitesse de K2 par rapport à K, et V12 la vitesse de K1 par rapport à K2. Entre K et K1, ds12=a.ds2.
L'espace est isotrope et homogène, a ne dépend que du module de V1 et pas de sadirection, il ne dépend pas non plus des coordonnées d'espace. Le temps est homogène, a ne dépend pas du temps. On a donc a=a(V1), ce qui permet d'écrire :
(1)® ds12=a(V1)ds2
On adopte la même démarche pour les deux autres vitesses :
(2)® ds22=a(V2)ds2
(3)® ds122=a(V12)ds2
On réalise l'opération :
(1)
(2)
 ®
ds12
ds22
 =
a(V1)
a(V2)
On déduit alors :
(*)® a(V12)=
a(V2)
a(V1)
On change maintenant le sens de V1. Les directions des vitesses ne changent pas.
Les normes |V1| et |V2| ne changent pas alors que la norme de |V12| a changé.
Dans (*), l'argument du nombre de gauche change mais celui du terme de droite ne change pas. a ne dépend donc pas du module de la vitesse : a est constant.
En considérant un changement de K vers K, ds2=a.ds2 Þ a=1
Þ ds2=ds'2
L'intervalle est conservé par changement de référentiel inertiel.

ds2 est une distance dans un espace pseudo-euclydien de signature (+;-;-). Or, on doit conserver ds2, il faut donc conserver les distances.
Si on omet les translations (changement d'origine trivial), et les réflections (elles n'ont pas la bonne parité), on doit donc utiliser les rotations :
c2t2-x2=c2t'2-x'2
ct=x'shY + ct' chY
x=x'chY+ct'shY
On regarde le mouvement de l'origine de K', x' est donc nul : x=ct'shY et ct=ct'chY.
x
ct
 =
shY
chY
  Þ 
v
c
 =thY
On obtient donc la relation :
x=
x'+vt'
1-
v2
c2

1.3  Notation d'Einstein

On pose x0=ct, x1=x, x2=y et x3=z. On note xµ pour µÎ 0,3 et xi pour iÎ 1,3.
Lorsu'un indice est répété deux fois dans un terme d'un équation (une fois en haut et une fois en bas), il y a sommation impliite sur cet indice :
ds2=c2dt2-dx2-dy2-dz2= (dx0)2- (dx1)2- (dx2)2- (dx3)2
=
 
å
µ,n
 hµndxµdxn
avec :
hµn= æ
ç
ç
ç
è
1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1
 ö
÷
÷
÷
ø

Þ ds2=hµndxµdxn
Les composantes en xµ sont appelées composantes contravariantes.
On pose x0=x0, x1=-x1, x2=-x2 et x3=-x3. Ce qui est équivalent à xµ=h-µnxn. Les composantes en xµ sont appelées composantes covariantes.
On définit le 4-vecteur (quadri-vecteur) énergie-impulsion par :
Pµ=(
E
c
 ,px,py,pz)
Pµ=hµnPn=(
E
c
 ,-px,-py,-pz)
PµPµ=
E2
c2
 -px2-py2-pz2=m2c2

1.4  Opérateurs différentiels sur l'espace-temps

xµ
 =(
1
c
t
 ,
x
 ,
y
 ,
z
 )
on note : / xµ=µ
µ=
xµ
 =(
1
c
t
 ,-
x
 ,-
y
 ,-
z
 )
µµ=(
1
c2
2
t2
 -
2
x2
 -
2
y2
 -
2
z2
 )


 

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publié par Tom dans: Cours
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