mardi 19 avril 2005

Cours de thermodynamique n°3 : La pression

1  Définition

La pression exercée par un fluide est une force moyenne perpendiculire à la paroi sur laqualle elle s'exerce et exclusivement dirigée vers celle-ci dont l'origine est due aux innombrables collisions que les particules de ce fluide ont avec la surface de la paroi.
A titre d'exemple, à température ambiante et pression atmosphérique (1013 mbar=1 atm» 105 Pa), chaque microseconde voit se dérouler 109 chocs de particules avec 1 mm2 de paroi.
Deux pressions différentes peuvent s'appliquer de part et d'autre d'une surface et ainsi donner lieu à une pression résultante dirigé dans la direction privilégié par la pression la plus forte.

La pression est le résultat de l'application d'un force pressante (dirigée vers la surface) par unité de surface. On peut donc écrire :
df=P.dS
Qui s'esprime vectoriellement par :
df=P.dS.n
La pression est donc une grandeur scalaire. Elle s'exprime en Pascal (1 Pa=1 N.m-2) qui est équivalent à une énergie par unité de volume (J.m-3).
 
 

2  Origine microscopique de la pression

Entre chaque collision, les particules d'un fluide se propagent de façon rectiligne. Pendant une collision entre particules, celles ci échangent de la quantité de mouvement entre elles. Au cours de collisions avec une paroi, les particules échangent de la quantité de mouvement avec la paroi. Cet écange de quantité de mouvement avec la paroi donne naissance à la pression.
Soit une particule possédant une mass m et mue par une vitesse v ayant deux composantes (vx,vy) (raisonnement en deux dimensions).
Cette paricule vient se heurter à une paroi, parfaitement lisse à l'échelle de la particule, fixe, par un choc élastique.
 

Après la collision avec la paroi, la vitesse de la particule devient v'(-vx,vy). Son énergie cinétique s'exprimant par Ec=1/2m(vx2+vy2) est inchangée, mais sa quantité de mouvement varie de la quantité :
D (mv)=mv'-mv=-2mvxn
Cette variation exprime l'effet de la force résistante excercée par la paroi pendant le temps Dt de la collision sur la particule. On peut exprimer cette force par le prinipe fondamental de la dynamique :
fparoi/particule=
D(mv)
D t
La particule exerce aussi pendant ce même temps une force fparticule/paroi=-fparoi/particule.

3  Expression de la pression

On considère maintenant que D t est l'unité de temps telle que D t=1. Soit un élément de surface D S, siège de N collisions pendant la durée de l'unité de temps. Ceci équivaut à dire que N particules échanges N.D (mv) quantité de mouvement avec l'élément de surface.
On exprime alors force résultante sur l'élément de surface :
D Fx = -N
D (mv)
D t
 =-N.D (mv)=-N(-2mvxn)
On appelle dv0 la densité volumique de particules ayant une vitesse v0. On considère que les particules percutant l'élément de surface sont initialement contenues dans un cylindre oblique de base D S et de génératrice de longueur L=|v0|D t.
 
 

Le volume du cylindre s'exprime par : V=v0xD t D S, avec v0x la composante selon x de v0.
Le nombre de particule dans le cylindre est :
Nv0=dv0 V=dv0 v0xD S
La force produite par les collisions des particules s'écrit donc :
DFv0=-Xv0D(mv0)=2dv0mv0x2D Sn
La pression sur l'élément de surface due aux particules de vitesse v0 se déduit donc par :
Pv0=
|D Fv0|
D S
 =2dv0mv0x2
Pour avoir P, on prend en compte toutes les particules ayant une vitesse positive selon x :
P=
 
å
v
 dvmvx2
où dv est la densité de particules à la vitesse v.
Dans un gaz à l'équilibre, la densité ne dépend que du module dela vitesse. La pression étant isotrope, on peut écrire :
P=
 
å
v
 dvmvx2=P=
 
å
v
 dvmvy2=P=
 
å
v
 dvmvz2
Comme |v|2=vx2+vy2+vxz, P devient alors :
P=
1
3
 
å
v
 dvm|v|2
On définit la vitesse quadratique par <v2>=1/dåvdv|v|2. P se réécrit :
P=
1
3
 dm<v2>
En exprimant la densité d=N/Vm où ? est le nomre total de particules, on obtient au final :
PV=
M
3
 <v2>

avec M, la masse totale du système. Le produit PV est donc relié à la vitesse quadratique par une simple relation de proportionnalité.

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publié par Tom dans: Cours
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