1 Introduction

Les horloges atomiqes sont actuellement les instruments de mesure du temps les plus précis que l'on sait mettre en oeuvre. La précison relative de la mesure de la seconde par de tels dispositifs est évaluée à 10^-15 pour les appareils les plus courant, soit l'équivalent de la dérive d'une seconde pour 50 millions d'années. Dernièrement, grâce au projet PHARAO consistant en la réalisation d'une horloge atomique en apesenteur, cette précision descend jusqu'à 10^-16.
Au cours des propos qui vont suivre, on s'efforcera de repérer quels sont les facteurs limitant la précision de la mesure de la seconde et de savoir si la précision des horloges atomiques va tendre vers une limite.

2 Erreurs de mesure sur la seconde atomique

2.1 Fondement de la mesure et de l'erreur : approximation de l'atome isolé au repos

La qualité de la mesure est basée sur l'obtention d'un étalon atomique de fréquence idéale sur lequel est asservi un oscillateur. La fréquence de référence serait définis en théorie par des transitions entre deux niveaux d'énergie voisins très bien séparés d'un atome ou d'un ion unique, isolé et au repos.
Le cas idéal de l'atome isolé et au repos n'est, dans la pratique, qu'approché. Les conditons expérimentales sont généralement les sources de l'éloignement de cet état.
Les perturbations induites sur la mesure découlent majoritairement de l'asservissement de la fréquence de l'oscillateur sur la fréquence atomique. En effet, la boucle d'asservissement étant basée sur la mesure de la probabilité de transition autour de la résonnance atomique, le moindre écart de fréquence sera interprété comme une variation de la fréquence de référence par la boucle qui changera la fréquence de l'oscillateur.
Les effets influants sur la précision de la mesure sont soit des effets liés à la mesure (détection ou instrumentation) soit des effets physiques.
Dans la suite du document nous allons décrire l'effet de ces perturbations en cherchant à caractériser l'ordre de grandeur de l'erreur sur la mesure de la seconde et en donnant un exemple d'application dans lequel ce problème a été soit rencontré et/ou solutionné.

2.2 Inexactitude

L'inexactitude d'un étalon atomique est décrite comme sa capacité à fournir sans étallonnage une fréquence en accord avec la définition de la seconde. La seconde est définie par rapport à une transition énergétique d'un atome ou d'un ion stable, isolé et au repos. Or, dans la pratique, les atomes impliqués dans ces transitions se trouvent dans des états hors d'équilibre et ne sont pas isolés. La fréquence de référence ( n₀ ) est une fréquence propre accessible dans un domaine spatial limité infiniment fin (en théorie). La configuration expérimentale et ses contraintes va introduire des effets systématiques perturbant la mesure de cette fréquence (effets que nous décrirons dans les sections suivantes). A la sortie du dipositif, on va donc récupérer une valeur moyenne n_s de la fréquence mesurée qui sera sensiblement différente de la fréquence de référence. La précision relative qui va caractériser l'incertitude sur la mesure du temps par l'horloge va alors être définie comme l'incertitude¹ s_E sur la détermination du rapport R= n_s / n₀ .
Le rapport R est déterminé en valeur moyenne. Il est décrit comme étant le produit des facteurs de corrections r_i donnés par l'évalutation des effets engendrés par les perturbations i physiques et expérimentales, qui peuvent être déterminés par des mesures complémentaires, ajusté au démultiplicateur de fréquence introduit par l'expérimentateur (pour disposer de fréquence plus facile à traiter). En général, ce facteur est connu avec exactitude. On définit enfin s_i , l'incertitude sur les correcteurs r_i.
En supposant que les perturbations sont indépendantes, on peut alors écrire :

s_E=(ås_i²)^1/2

Les s_i sont généralement donnés sous la forme des écarts par rapport à la fréquence de référence². s_E est la valeur de l'incertitude sur la mesure qui est donnée par les laboratoires lorqu'ils veulent décrire la précision de leur horloge. On note que cette valeur d'incertitude est relaive et n'a de sens que si elle est donnée avec l'instabilité de fréquence de l'horloge dépendante du temps sur lequel la mesure a été échantillonnée.

2.3 Instabilités de fréquence à court et moyen terme : bruit de grenaille

Dans ce paragraphe, les effets auxquels nous allons nous intéresser sont caractérisés par des durées d'échantillonages de la mesure du temps de l'ordre de quelques secondes à plusieurs jours. Ce sont les bruits liés à aux systèmes à particules : les bruits de grenaille.
Dans le cas des horloges atomiques, le bruit de grenaille (ou bruit de détection) est dû aux atomes du jet atomique traversant une section droite du jet (lors de la détection) et aux porteurs de charge du courant électrique traversant un conducteur du système de détection. Les instants d'occurence des deux types de traversées différents sont distribués aléatoirement selon une loi de Poisson. Le courant de sortie du détecteur, image de la mesure de la frange de Ramsey, va connaître des fluctuations qui seront interprétées par la boucle d'asservissement comme étant dûes à une variation de la fréquence de référence.
Le courant image de la fréquence atomique et notamment de la frange centrale (figure 1) peut se réduire à l'expression d'une cosinusoïde :

I=Ib+

1 2

Ipv1+cos

( p(n-n0) Dn0 )

où t est le temps caractérisant la durée d'échantillonnage de la mesure et Q_at le facteur de qualité du résonnateur atomique.
On relève la variation de l'instabilité relative en fréquence caractétisée par l'écart type d'Allan pour différents types d'horloge atomique.

On voit que l'instabilité a tendance à diminuer jusqu'à environ 1 heure d'échantillonnage, quelque soit le dispositif puis qu'elle ré-augmente. Le dispositif à MASER à hydrogène présente la meilleur stabilité.

2.4 Instabilité en fréquence d'origine physique

2.4.1 Effet Doppler résiduel

L'onde micro-onde excitant les atomes dans la cavité n'est pas strictement stationnaire. La nature des matériaux constituant la cavité entraîne donc un flux d'énergie dirigé vers les parois. Ce flux d'énergie va provoquer un déplacement de la fréquence de référence par effet Doppler dépendant de la phase F(t) accumulée par les atomes au cours de l'interrogation de Ramsey. Cette variation de phase renconctrée par un atome va engendrer une perturbation de la probabilité de transition qui va se répercuter sous forme d'un déplacement de fréquence :

g(t) est la fonction de sensibilité des atomes pendant l'interrogation et v(t) leur vitesse instantannée.
L'effet Doppler peut être complétement supprimé en disposant d'une cavité verticale (fontaine atomique) car les atome circulant dans le même tube, les impulsions micro-ondes sont émises du même lieu.

2.4.2 Effet Zeeman quadratique

Le déplacement de fréquence produit par effet Zeeman est le plus critique. L'effet Zeeman intervient lorsque le champ magnétique micro-onde est parallèle au champ statique B₀, appliqué pour séparer les niveaux hyperfins de dégénérescence dans la cavité et autoriser la transition produisant la fréquence de référence. Il résulte un déplacement quadratique de la structure hyperfine du système de raies donné par :

où B_c(t) est le champ statique rencontré par les atomes à l'instant t et g_N(t) la fonction de sensibilité normalisée.

2.4.3 Effet Stark et rayonnement du corps noir

Une intéraction du moment dipolaire des atomes et d'un champ électrique statique dû à une fuite dans le blindage de la cavité (différence de potentiel en certains points de la cavité) peut produire un déplacement Stark des niveaux atomiques de la transition de la fréquence d'horloge. L'écart de fréquence par effet Stark peut s'exprimer par :

où k_E=-2,27.10^-10 Hz(V.m^-1)² (valeur déterminée expérimentalement et utilisé pour la fontaine FO1, étalon atomique du BNM-SYRTE, Bureau National de Métrologie - laboratore de SYstèmes de Référence Temps-Espace). L'environnement électrostatique est normalement maîtrisé dans les cavité ce qui rend cet effet négligeable mais les atomes voient le rayonnement thermique de la cavité sous la forme d'une densité volumique d'énergie électormagnétique proportionnelle à la moyenne quadratique du champ électrique. Si on considère que cette énergie provient du rayonnement d'un corps noir, on peut l'exprimer par la loi de Stephan w(T)=s T⁴ avec s la constante de Stephan.
L'écart de fréquence produit par effet Stark se réécrit alors :

2.4.4 Déplacements collisionnels

Dans le cade de fontaines à atomes froids, les processus colisionnels jouent un rôle non négligeable. A des températures de l'orde du µ K, les intéractions inter-atomiques sont dominées par des forces de type Van der Waals et la longueur d'onde de De Broglie est très supérieur à la porté du potentiel d'intéraction inter-atomique ce qui provoque un phénomène de diffusion entraînant des effets colisionnels qui sont alors décrit exclusivement de manière quantique. On considère ici le cas très simplifié d'un nuage atomique très dilué dans lequel ne sont présentes que des collisions élémentaires élastiques. Les effets collectifs rencontrés dans les condensats sont donc négligeables (collisions à trois atomes ou plus et collisions inélastique).
L'énergie des atomes se calcule en posant l'hamiltonien stationnaire de diffusion puis en résolvant l'équation de Shrödinger pour une particule relative³. Le déplacement est alors déterminé en considérant les longueurs de diffusions des atomes dans leur état fondamental et excité puis en calculant la conservation de l'énergie du nuage atomique.
L'énergie totale d'intéraction dans l'état initial s'écrit :

où a_f est la longueur de diffusion des atomes dans l'état fondamental.
L'énergie finale d'intéraction est donnée par la même formule mais en remplaçant a_f par a_e, la longueur da diffusion des atomes dans l'état excité.
Le déplacement de fréquence est finallement donné par :

2.4.5 Bruit de projection quantique

Le bruit de projection quantique est lié aux nombres d'atomes détectés auquel il est inversement proportionnel. Il provient du caractère aléatoire de la mesure de l'état final. Pour améliorer la précision des horloges, on est amené à réduire les densités atomiques dans les cavités atomiques pour limiter les effets colisionnels soit en diminuant le nombre d'atomes soit en les piégeants optiquement. De sorte, à chaque cycle les N atomes en sortie de cavité se trouvent dans le même état quantique a |x>+b |y> résultants de la superposition des états fondamentaux et excités. Comme la probabilité de mesurer les atomes se trouvant dans l'état excité |x> est égale à |a|², le rapport N_x/N des atomes excités sur les atomes dans leur état fondamental tend vers |a|² si N® ¥. Dans la pratique, on ne peut pas disposer d'un nombre infini d'atome dans la cavité. Il en résulte donc une fluctuation de N_x/N autour de la valeur limite de la probabilité de mesure d'autant plus que la valeur de N est petite. En maintenant une le rapport N_x/N égale à 1/2, l'asservissement est optimal. L'instabilité en fréquence est proportionnelle N^-1/2. Dans le cadre du projet PHARAO on prévoit de descendre l'incertitude produite par le bruit de projection quantique à 2.10^-16.
Cette incertitude est considérée comme l'incertitude ultime des horloges atomiques car elle produit des déplacements de la fréquence de référence très faible dont il est extrêmement difficile de s'affranchir. En effet, si on peut réduire l'instabilité du bruit de projection quantique en augmentant le nombre d'atomes à détecter, on augmente aussi les riques de processus colisionnels provoquant une instabilité fréquentielle.

2.4.6 Bilan des effets physiques : exemples dans des étalons atomiques

La multiplicité des configurations d'horloges atomiques exitantes est telle q'il n'est pas aisé de donner une valeur numérique générale sur les limites de précisions apportées par chacune des causes décrites précédemment. Aussi, chacun des effets décrit n'influe pas de la même manière selon la configurarion expérimentale utilisée et le type d'atomes impliquées dans l'horloge (par exemple, l'effet Doppler est quasi-inexistant dans le cas des fontaines atomiques).

3 Conclusion

Nous venons de lister les effets physiques provoquant les perturbations sur la mesure de la seconde les plus importantes. On ne palie pas encore à toutes et tous les types d'horloge n'y sont pas soumis.

A titre d'exemple, la précision relative de la fontaine PHARAO est évaluée à 7,7.10^-16 avec une stabilité en fréquence de 1,7.10^-13t^-1/2. Les fontaines plus classiques à cesium ou rubidium possède une stabilité similaire mais une précision de l'ordre de 10^-15.
Il apparaît que le bruit de projection quantique sera la limite ultime des horloges atomiques. De part sa nature (effets quantiques), il ne sera pas possible de descendre la précision plus bas que la dernière limite quantique autorisée (incertitude d'Heisenberg). De plus, avant d'atteindre cette limite ultime, les effets collisonnels auront déjà probablement pris le dessus sur l'instabilité fréquentielle.

Voir l'article traitant des horloges atomiques

Références

Document traduit de ma bibliographie écrite sous L^AT_EX avec la distribution libre H^EV^EA.